Загадка Монті Голла або як телевікторина увійшла в історію теорії ймовірностей.

 «Загадка Монті Голла» - знамените завдання з теорії ймовірностей, яке поставило в глухий кут учасників ігрового шоу під назвою Let's Make a Deal («Укладемо угоду»), дотепер популярного в низці країн, прем'єра якого відбулася в Сполучених Штатах 1963 року. Наприкінці кожного його випуску учасник, який дістався до фіналу, ставав разом із Монті Голлом перед трьома великими дверима: Двері № 1, Двері № 2 і Двері № 3. Монті Голл пояснював фіналісту, що за одними з цих дверей ховається дуже цінний приз - наприклад, новий автомобіль, а за двома іншими - козел. Фіналіст мав обрати одну з дверей і отримати те, що за нею знаходилося. (Я не знаю, чи була серед учасників шоу хоча б одна людина, яка хотіла б отримати цапа, але для простоти міркувань вважатимемо, що переважна більшість учасників мріяли про новий автомобіль😁).

 Початкову ймовірність виграшу визначити досить просто. Є три двері, за двома ховається цап, а за третіми - автомобіль. Коли учасник шоу разом із Монті Холлом стоїть перед цими дверима, у нього є один шанс із трьох вибрати двері, за якими знаходиться автомобіль. Але, як зазначалося вище, у Let's Make a Deal криється каверза, яка увічнила цю телепрограму та її ведучого в літературі з теорії ймовірностей.

Після того як фіналіст шоу вкаже на якусь із трьох дверей, Монті Голл відчиняє одну з двох дверей, що залишилися, за якою завжди знаходиться козел. Потім Монті Голл запитує фіналіста, чи не бажає він змінити своє рішення, тобто відмовитися від раніше обраних ним закритих дверей на користь інших закритих дверей.

 Припустимо, заради прикладу, що учасник вказав на Двері №1. Потім Монті Голл відчинив Двері №3, за якими ховався козел. Двоє дверей, Двері №1 і Двері №2, як і раніше, залишаються закритими. Якби цінний приз був за дверима №1, фіналіст виграв би його, а якщо за дверима №2, то програв би. Саме в цей момент Монті Голл звертається до гравця із запитанням, чи не бажає він змінити свій вибір. Єдина нова інформація, яку учасник отримав, полягає в тому, що цап опинився за одними з двох дверей, які він не вибрав.

 Чи слід фіналісту відмовитися від початкового вибору на користь Двері №2?🤔

Подумайте і спробуйте відповісти.

Відповідь:

Хіба має якесь значення рішення фіналіста змінити свій вибір на користь інших зачинених дверей?

 Безумовно, оскільки заковика полягає в тому, що Монті Голл знає, що знаходиться за кожними дверима. Якщо фіналіст вибере Двері № 1 і за ними справді буде автомобіль, то Монті Голл може відчинити або Двері № 2, або Двері № 3, щоб продемонструвати цапа, який ховається за ними.

 Якщо фіналіст вибере Двері № 1, а автомобіль буде за дверима № 2, то Монті Голл відкриє Двері № 3.

 Якщо ж фіналіст вкаже на Двері № 1, а автомобіль буде за дверима № 3, то Монті Хол відкриє Двері № 2.

  Змінивши своє рішення після того, як ведучий відкриє якісь із дверей, фіналіст отримує перевагу вибору двох дверей замість одних. Я спробую переконати вас у правильності цього аналізу.

 Моє пояснення цього феномена ґрунтується на інтуїції. Припустимо, правила гри дещо змінилися. Наприклад, фіналіст починає з вибору одних із трьох дверей: Двері № 1, Двері № 2 і Двері № 3, як і було передбачено спочатку. Однак потім, перш ніж відчинити якісь із дверей, за якими ховається козел, Монті Голл запитує: «Чи згодні ви відмовитися від свого вибору в обмін на відкривання двох дверей, що залишилися?» Таким чином, якщо ви вибрали Двері № 1, ви можете передумати на користь Двері № 2 і Двері № 3. Якщо спершу вказали на Двері № 3, можете вибрати Двері № 1 і Двері № 2. І так далі.

 Для вас це було б не особливо важким рішенням: цілком очевидно, що вам слід відмовитися від початкового вибору. По суті ця ситуація ідентична завданню.

П.С. Дана історія взята з книги "Гола статистика"  Чарльза Уілана. Як каже про неї сам автор, це найцікавіша книга про найнуднішу науку🙂 Дуже раджу цю книгу всім поціновувачам покеру. В ній дуже простими словами і з гумором пояснюється що таке математичне сподівання, дисперсія і т.п. речі. Думаю для цієї сфери розуміння подібних речей дуже корисно.